Valentini Carlo

AI fine di ridurre gli inconvenienti che una trasmissione a ruote di frizione comporta (ad esempio problemi di slittamento), nelle ruote dentate la trasmissione del moto potenza è affidata alle spinte che si trasmettono reciprocamente i denti che sporgono dalle corone delle ruote (Figura 1).

Fig 1

Le ruote dentate per la trasmissione del moto tra assi paralleli possono essere:

cilindriche a dentatura diritta

cilindriche a dentatura elicoidale semplice

cilindriche a dentatura bielicoidale

cilindriche a dentatura cicloidale

Fig 2

Fig 3

Tutte queste ruote a loro volta possono essere interne o esterne:

Fig. 4

Uniformità del movimento

La trasmissione del moto deve in ogni caso svolgersi con la massima regolarità, idealmente senza urti, rispettando la costanza del rapporto di trasmissione. A tal proposito esaminiamo il moto di una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti osservandone le condizioni di contatto fra i profili coniugati (Figura 1).
Ognuna delle due ruote dentate fa riferimento ad una circonferenza particolare (circonferenza primitiva, come sarà in seguito specificato): siano le due circonferenze di centro rispettivamente O₁ e O₂, tangenti in C, e sia la coppia di denti in presa a contatto nel punto A.
Considerato tale punto pensato appartenente prima alla ruota (1) motrice, poi alla ruota (2) condotta, le relative velocità periferiche istantanee risultano:

Al contatto i due denti non devono urtarsi né distanziarsi, a tal proposito si conduca da A la retta (n n) di contatto (o di pressione o ancora normale di contatto) perpendicolare alla tangente del profilo di entrambi i denti (deve essere comune, altrimenti o i denti si compenetrano o non si toccano) nel punto di contatto A; inclinata di un angolo a rispetto all'orizzontale (perpendicolare alla congiungente i centri O₁ e O₂). Dalla figura 1 si osserva che, affinché non vi siano né urti, né distanziamenti fra i profili, è necessario che le proiezioni di sulla retta (n n) siano uguali, ovvero che la velocità relativa in direzione normale alla superficie di contatto sia nulla.
Anche in questo caso non è comunque assicurata l'assenza di strisciamenti relativi poiché esiste sempre, ad eccezione del punto notevole C, una velocità relativa tangenziale alle superficie di contatto, causa di attriti e quindi di usura (la velocità sempre in figura 1).

Dall'esame della figura si ricavano le condizioni di similitudine fra i triangoli:

(siano N₁, ed N₂i piedi delle perpendicolari mandate dai centri delle ruote alla normale di contatto n n). Stabiliti gli angoli:

Si ha pure:

Ne segue che:

da cui:

Essendo il rapporto di trasmissione definito da:si otterrà:

Infine, per similitudine fra i triangoli:si ha:

ovvero il rapporto di trasmissione di un ingranaggio cilindrico a denti diritti è pari al rapporto fra i raggi (diametri) delle circonferenze tangenti delle ruote di frizione cilindriche a esse ornologhe, dette circonferenze primitive.

Affinché sia assicurata la costanza del rapporto di trasmissione durante l'ingranamento è necessario che la normale di contatto (n n) passi per il punto C di tangenza di dette circonferenze (condizione necessaria e sufficiente è la invarianza dei segmenti ).
Per questo occorre che i fianchi dei denti siano profilati in maniera opportuna; ovvero per assicurare la costanza del rapporto di trasmissione e` necessario che la retta di azione della spinta esercitata dal dente della motrice sul dente della condotta passi sempre per il punto primitivo C. Praticamente i profili che consentono questa costanza del rapporto di trasmissione sono due:

profilo cicloidale (ordinario, ipocicloidale, epicicloidale): generato da un punto di una circonferenza che rotola, senza strisciare, su una retta o una circonferenza, esternamente o internamente a essa; per la costruzione di ruote dentate tale profilo è stato da tempo abbandonato, salvo qualche applicazione in orologeria e per i compressori/pompe tipo Root, nel caso siano trasmesse ridotte potenze e siano richieste ruote con un ridotto numero di denti; questo perché i denti a profilo cicloidale risultano indeboliti alla base e perché l'angolo di pressione, definito dall'inclinazione della retta di pressione con l'orizzontale (perpendicolare alla congiungente i centri delle ruote coniugate), varia durante l'ingranarnento;

Fig. 5

profilo a evolvente di cerchio: ottenuto facendo rotolare senza strisciare una retta su una circonferenza a essa tangente; è impiegato per la costruzione di ingranaggi di potenza in quanto consente di mantenere un rapporto di trasmissione costante nonché assicurare la univocità della retta di pressione, cosicché l'azione di spinta fra i denti si mantiene sempre nella stessa direzione. Per la costruzione grafica dell'evolvente si nota che l'andamento della curva dipende solo esclusivamente dal diametro della circonferenza di riferimento, detta di base; inoltre si ha che le lunghezze dei segmenti ... (Figura 8) sono rispettivamente uguali a quelle degli archi AB, AC

Il proporzionamento di una ruota dentata, in particolare la sua dentatura, è svolto per convenzione ed evidente praticità in relazione a una grandezza di riferimento denominata modulo; si tratta di una grandezza introdotta per agevolare la costruzione delle ruote dentate, la cui dentatura ha passo:

indicando con:

z = numero di denti (numero di vani);

d = diametro primitivo.

il passo di una dentatura, ovvero la distanza fra due punti omologhi appartenenti a due denti consecutivi misurata sulla circonferenza primitiva (si tratta di un arco), risulta di difficile commensurabilità per la presenza, nel membro di destra, del numero irrazionale p; per questo si è posto più semplicemente:

Fig. 6

Fig. 7

a = angolo di pressione formato dalla retta di pressione con la normale alla congiungente i centri di rotazione delle rette costituenti l'ingranaggio (~ 20°);

r = raggio della circonferenza primitiva,, ovvero quello della retta di frizione omologa alla ruota dentata in esame;

r_b = r cos a raggio della circonferenza di base o deferente, riferimento per la costruzione del profilo a evolvente dei fianchi dei denti;

N.B. Nel caso i n cui r_b > r_f i profili dei fianchi dei denti sono prolungati all'interno di r_b circa radialmente!!!!

r_a = raggio della circonferenza di troncatura esterna, in corrispondenza della quale il profilo ad evolvente viene interrotto

rf=raggio delle circonferenza di troncatura interna, in corrispondenza della quale il profilo ad evolvente viene iniziato

h_a = addendum, definito come differenza tra il raggio di troncatura eterna, o raggio di testa, e il raggio primitivo

h_f = dedendum, definito come differenza fra il raggio primitivo e il raggio di troncatura interna o di piede:
(tempo fa si era soliti porre, anziché h_f = 5/ 4 m, assumere h_f = 7/6 m)

il dedendum e` superiore all'addendum per evitare lo strisciamento della testa del dente nel vano in cui alloggia

b = l m (l = 10÷30), passando da ingranaggi ordinari a quelli di precisione) : larghezza utile della dentatura (fig. 9)

Fig. 8 tracciamento dell'evolvente

Fig. 9 Larghezza della dentatura

Il profilo geometrico descritto subisce generalmente «ritocchi» per essere più idoneo a un corretto funzionamento/ingranamento:

Utilizzando un arrotondamento di base si evita la realizzazione di spigoli vivi sul fondo del vano: sia per vincoli costruttivi che per rafforzare la base del dente evitando pericolosi effetti d'intaglio; generalmente si assume r_f= 0,4 m (Figura 10)

Fig. 10

La riduzione dello spessore è attuato, se necessario, tra i fianchi oziosi che non prendono parte alla trasmissione, assicurando un opportuno gioco (g) che faciliti la lubrificazione ed eviti impuntamenti (dilatazione termica, variazione dell'interasse, etc...)

L'aumento dell'interasse a dentature immutate non rende cinematicamente scorretto il funzionamento della trasmissione, così pure il rapporto di trasmissione, aumentando il dedendum a scapito dell'addendum; di conseguenza si ha un aumento dell'angolo di pressione e maggiori problemi per la resistenza del dente, soggetto a urti all'inversione del senso di marcia, nonché di spessore inferiore.

Affinché sia assicurato l'ingranamento fra due ruote dentate a denti diritti e` necessario che abbiano lo stesso modulo; conseguentemente il relativo rapporto di trasmissione, tenendo presente quanto già esposto anche trattando le ruote di frizione, nonché la definizione di modulo, risulta:

Considerando una coppia di ruote dentate a denti diritti in presa (Figura 11), il contatto fra i relativi fianchi, imposto il senso di rotazione in figura, inizierà in corrispondenza dell'intersezione del cerchio di testa della ruota condotta con la retta di pressione (punto Q₁) si svilupperà da detto punto fino a C (fase di «accesso»), proseguirà oltre C (fase di «recesso») per concludersi all'intersezione del cerchio di testa della ruota motrice sempre con la retta di pressione (punto Q₂).

Siano le seguenti definizioni geometriche:

condizione necessaria affinché sia assicurata continuità nella trasmissione è che, al cessare del contatto fra una coppia di denti coniugati, sia già iniziata la fase dì condotta relativa alla coppia successiva; il passo della dentatura dovrà essere perciò inferiore all'arco di condotta! Ovvero:

si utilizza il riferimento a una grandezza denominata rapporto di condotta:

che generalmente viene assunto pari a 1,2÷ 2.

Nello studio cinematico dell'ingranamento fra due ruote dentate si è già avuto modo di notare l'esistenza di uno strisciamento relativo fra i fianchi a contatto dei denti in presa. Per avere un'indicazione sull'entità della velocità relativa di strisciamento durante l'ingranamento all'interno dell'arco di condotta si immagini perciò di rendere immobile la ruota motrice e considerare la ruota condotta rotolante su di essa, attribuendo al sistema una velocità angolare uguale e opposta a w1; ciò significa appunto che la ruota 1 è immobile:

e che la ruota 2 subisce rotazione attorno al centro d'istantanea rotazione C con velocità angolare:

Nello spostamento del contatto da Q₁ a C (fase di accesso) la velocità di strisciamento con la quale il dente si inserisce nel vano relativo decresce fino ad annullarsi, istantaneamente, nel punto di tangenza dei cerchi primitivi, mentre nella fase di recesso (da C a Q₂) riprende ad aumentare.
La legge di variazione di tale velocità è di tipo, sostanzialmente, lineare:

Tali considerazioni sono di fondamentale importanza in quanto gli attriti sviluppati (in relazione al carico sui denti e al loro stato di finitura, nonché al materiale di costruzione) sono causa di usura e riscaldamenti durante il funzionamento, con il pericolo di indurre principi di saldatura sui fianchi dei denti, nonché grippaggi.
Per evitare simili inconvenienti si adottano oli lubrificanti con particolari additivi, idonei trattamenti superficiali sui denti (per esempio: nitrurazione), oppure si interviene direttamente sulla geometria della trasmissione, rendendo minore l'arco di condotta (al fine di ridurre b), conseguenza di un proporzionamento della dentatura con numerosi denti di piccolo modulo.

Per un funzionamento cinematicamente corretto, i cerchi di testa o di troncatura esterna delle dentature devono intersecare la retta di pressione (punti Q₁, e Q₂) internamente al segmento , delimitato dai piedi alla normale di contatto delle perpendicolari a essa condotte per i centri di rotazione O₁ e O₂ delle ruote dentate; è infatti geometricamente dimostrato che, nel caso ciò non sia verificato (Figura 11), i profili anziché disporsi tangenti fra loro tendono a compenetrarsi, manifestando interferenza, sia nella fase di accesso che in quella di recesso. Tale fenomeno, ovviamente indesiderato in quanto causa di rapido danneggiamento e indebolimento dei denti della ruota costruita in materiale più tenero, può poi essere causato anche nella fase di realizzazione della dentatura di una ruota mediante impiego di una dentiera utensile. In particolari circostanze si ha che, nel moto di rivoluzione relativo tra l'utensile dentiera e la ruota, nel corso del taglio con il procedimento per inviluppo, l'utensile realizza un sensibile e dannoso sottointaglio alla base dei denti.I suddetti inconvenienti si hanno fondamentalmente con ruote certamente non proporzionate modularmente, caratterizzate da denti surdimensionati rispetto aì relativi raggi primitivi!

Fig 11

Numero minimo di denti
Le condizioni geometriche esposte per assicurare un funzionamento cinematicamente corretto della trasmissione e per evitare interferenze impongono che le ruote dentate siano realizzate con un sufficiente numero minimo di denti in relazione al loro diametro primitivo. Consideriamo il caso limite in cui un pignone o un rocchetto ingrana con una dentiera, ovvero una ruota dentata con raggio primitivo Ñ, i cui denti sono profilati a trapezio isoscele (evolvente degenere in retta, segmentata dalle troncature di testa e di base) (Figura 12); in tale accoppiamento supponiamo, condizione limite ammissibile per evitare interferenza, che (si noti che in questo caso N₂ cade all'infinito!), ovvero il massimo addendum della dentiera sì trova intersecando la retta di pressione con la retta di testa della dentiera proprio in N₁! In tal caso:

ma

sostituendo:

ricordando che:

dalla quale il numero minimo di denti risulta (per qualunque tipo di proporzionamento):

nel caso di proporzionamento modulare: h_a = m; ne deriva:

per l'angolo di pressione unificato di 20° si calcola: z₁ =. 17

con a= 15° => z₁ =30

con a = 22° 30' (dentature rilassate, esempio Fellows) => z₁ 13

Se si facesse ingranare il pignone, anziché con la dentiera, con un'altra ruota, si ricaverebbe graficamente un addendum h_a certamente maggiore (, di figura 12), in relazione al diametro primitivo di quest'ultima.
Immutato il diametro primitivo del pignone, sarebbe possibile diminuire ulteriormente il numero minimo di denti di questo, rinunciando però al taglio con utensile dentiera per inviluppo (si avrebbe sotto-intaglio), ma impiegando particolari frese a profilo costante o sagomate. Si potrebbe infine pensare di ridurre ulteriormente il numero minimo di denti aumentando l'angolo di pressione; in tal caso però si ridurrebbe pure il rapporto di condotta!.
Attualmente si utilizza per il calcolo del minimo numero di denti la seguente relazione:

Fig. 12